线性代数笔记-向量

如图中所示，根据 cosine rule，我们有

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2{\times}a{\times}b{\times}cos{\theta}$$

若我们假设\(a\)对应的向量为\(r\)，\(b\)对应的向量为\(s\)，则\(c\)对应的向量为\(r-s\)，那么我们有

$$(r-s){\cdot}(r-s) = r{\cdot}r + s{\cdot}s - 2{\times}|r|{\times}|s|{\times}cos{\theta}$$

经过化简后，可以得到

$$cos{\theta} = \frac{r{\cdot}s}{|r|{\times}|s|}$$

那么，显然，\(s\)在\(r\)的投影的长度为

$$\frac{r{\cdot}s}{|r|}$$

那么，\(s\)在\(r\)上投影出来的向量为

$$\frac{r{\cdot}s}{|r|{\times}|r|}{\cdot}r$$

显然，上述公式亦可以写为

$$\frac{r{\cdot}s}{r{\cdot}r}{\cdot}r$$

上述公式可以应用在坐标系转换上，假设我们有\(e\)和\(b\)两个坐标系，其基础向量分别为\(e_1, e_2\)和\(b_1, b_2\)，如果我们知道\(b_1\)及\(b_2\)在\(e\)坐标系中的坐标，那么，我们就可以根据一个向量\(v\)在\(e\)坐标系中的坐标获得其在\(b\)坐标系中的坐标，前提是\(b\)坐标系中的基础向量是正交的。

当然，如果\(b\)坐标系中的基础向量不是正交的话，就需要用到矩阵相关的知识了。